241 / 332
d Фй
> 0
d фй
_
d r f
2
d r f
1 f 4 A
dzQ
^
Prw с/
7 2
2
dp
Для решения поставленной задачи используется следующий алгоритм.
Заменяя в задаче (1)-(7) — = / , понижаем порядок уравнения (1.а). Затем
д7]
аппроксимируем полученное уравнение относительно функции f на равномерной
сетке со вторым порядком аппроксимации. При реализации данного алгоритма ис
пользуются два варианта: линеаризация исходного уравнения и так называехмые ите-
п
рации по нелинейности (см [2]). После вычислим искомую функцию
ф= j f дг/,
с
о
помощью обобщенных квадратур второго порядка точности (см [3]). С учетом полу
ченных результатов решаем (
1
.
6
), получая значение концентрации.
В соответствии с вышеизложенным алгоритмом проведены численные расче
ты, которые показали, что данный способ позволяет определить точку гелеобразова-
ния. Решение задачи в ее простейшей постановке позволила не только убедиться в
справедливости построенной математической модели, но и дало возможность чис
ленного определения и анализа важнейших парахметров задачи. Анализ результатов
проведенных расчетов позволяет сделать следующие выводы (все указанные ниже
значения являются безразмерными величинами).
1. Сравнение с решением уравнения Блазиуса. Нетрудно заметить, что при
подстановке в уравнение (1.а) значения £
=0
мы получаем уравнение Блазиуса,
описывающее течение несжимаехмой жидкости над плоской полубесконечной
пластиной (см [4]). Погрешность приближенного решения относительно известного
точного решения этого уравнения не превышают 0.5%, что является хорошим
приближением на реальных сетках.
2. Как следует из рис. 2 (графики изменения концентрации вещества вдоль
мембраны, при различных концентрациях гелеобразования) фильтрация вещества
происходит в основном до точки гелеобразования. Этот вывод позволяет сократить
область исследования задачи до точки гелеобразования и тем самым сократить вре
мя численного эксперимента.
3. На рис. 3 (зависимость координаты точки гелеобразования от проницаемо
сти мембраны, при заданной концентрации гелеобразования) показана зависимость
координаты точки гелеобразования от значения проницаемости мембраны. Из гра
фика следует, что чем выше проницаемость, тем ближе точка гелеобразования к на
чалу координат, причем зависимость эта не линейна. И как видно из рис. 4 (график
изменения средней концентрации на слое гелеобразования относительно начальной
средней концентрации от проницаемости мембраны) существует оптимальная про
ницаемость мембраны, при которой происходит максимальное увеличение концен
трации вещества над мембраной. Это обстоятельство позволяет сделать вывод, что
нет необходихмости создавать мембраны с как можно большей проницаемостью.
4. Анашзируя рис. 5 (график изменения концентрации в направлении пер
пендикулярном плоскости мембраны при различных значениях продольной пере
менной) можно утверждать, что изменение концентрации происходит лишь в около-
мембранной области. Этот результат позволяет обосновать идею создания мембран
ных аппаратов, в основе работы которых лежит отвод концентрированного раствора
из околомембранной области.
240
Сборник статей международной конференции
Нау ная электронная библиотека ЦНСХБ