27 / 62
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств» № 3, 2016
27
где
μ
– коэффициент динамической вязкости жидкости, Па с;
p
– гидростатическое давление, Па;
x
u
– значение локальной скорости жидкости в направлении движения
х
, м/с;
g
– ускорение свободного падения, м/с
2
.
В уравнении (2) плотность жидкости
ρ
является функцией температуры и вычисляется по уравнению:
ρ ρ(1 β(
))
T T
,
(3)
где
ρ
– среднее значение плотности жидкости в аппарате;
β
– коэффициент объемного расширения жидкости.
Изменение давления по оси
x
происходит в результате изменения гидростатического давления, т.е.:
d
ρ
d
p
g
x
С учетом последнего выражения и равенства (3) уравнение (2) примет вид
d
1 d
μ
ρ ρ (1 β(
))
d d
u x
r
g g
T T
r r
r
.
(4)
Определив из уравнения (1) разность температур и, подставив ее, в уравнение (4), после несложных
преобразований получим
2
d
ρ βΔ
d
d
d
2 μ
x
u
g T
r
r r
r
R
.
(5)
Представим уравнение (5) в следующем виде
2
d
d
d
d
x
u
r
Ar r
r
,
(6)
где:
ρ βΔ
2μ
g T
A
R
.
(7)
Для нахождения профилей локальных скоростей движения жидкости по радиусу аппарата
необходимо проинтегрировать равенство (6) дважды при следующих граничных условиях:
0
x
u
при
0
r r
и
r R
;
/
0
x
du dx
при
0
r
и
m
r r
. В результате интегрирования получим два уравнения,
описывающие профили локальных скоростей в восходящем и нисходящем потоках (рисунок 1 и 2):
в восходящем потоке
3 3
0 0
в
9
x
А
u
r r
,
(8)
в нисходящем потоке
3
3
3
н
(
)
ln
9
3
x
m
A
A R
u
r R r
r
.
(9)
В уравнениях (8) и (9) необходимо знать значения радиусов
0
r
и
m
r
.
Нетрудно доказать, что
0
2
m
R r
r
.
(10)
Радиус
0
r
находится из условия равенства объемных расходов жидкости в восходящем и нисходящем
потоке.
Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека