ЭлБиб

иноделие

иноградарство

1/2007

виноделие

Применение метода

главных компонент

для идентификации и сравнения натуральных вин

В.А. ГАВРИЛИНА, О.И.МАЛЬЦЕВА

Орловский государственный институт экономики и торговли

С.Н. СЫЧЕВ

Орловский государственный технический университет

К.С.СЫЧЕВ

ЗАО фирма «Найтек инструментс», г. Москва

К.К. ПОЛЯНСКИЙ

Воронежский государственный аграрный университет

Часть 1. Сущность применения

метода главных компонент

для описания и сравнения

многокомпонентных

физико-химических систем

Метод сравнения исследуемого образ-

ца

(вещество, изделие или природный объ-

ект с контрольным образцовым или стан-

дартным веществом, изделие или природный

объект) является основой большинства мето-

дов измерений.

Сравнение осуществляется:

методом,когдавеществу,изделиюилипри-

родному явлению присваивается модель,

содержащая ряд параметров, по мнению

авторов модели, позволяющие идентифи-

цировать исследуемый объект с целью его

дальнейшего использования или классифи-

кации;

путем сопоставления измеряемых с опре-

деленной погрешностью параметров моде-

ли исследуемых и контрольных образцов

или стандартных образцов исследуемый объ-

ект идентифицируется на предмет дальней-

шего его использования или классификации.

В любом случае при использовании

метода сравнения возникают две задачи:

разработка и выбор наиболее удачной

в конкретном случае модели вещества,

изделия или природного явления;

определение необходимого и достаточ-

ного количества параметров для идентифи-

кации исследуемого объекта.

Выбор математической модели и способ

задания количества параметров сложных

(многопараметровых) объектов связаны

между собой. Так, при применении нелиней-

ных моделей количество и особенно харак-

тер параметров определяются произвольно,

исходя из производственной необходимости

и экспериментального опыта. Параметры

многопараметровых линейныхмоделеймогут

быть определены как по первому способу,

то есть достаточно произвольно, так и путем

поиска линейно-независимых параметров

линейной модели объекта, непосредственно

не вводимых экспертом по своему усмотре-

нию, но содержащихся в экспериментальной

информации,особеннополипараметрической.

Алгоритм поиска линейно-независимых

параметров линейной модели объекта реа-

лизован в

так называемом

методе главных

компонент (

Д. Лоули, А. Максвелл

, 1967;

К. Иберла

, 1980; [1]).

Метод главных компонент

— это разно-

видность мультикорреляционного анализа,

то ссть метода, основанного на обработке

корреляционныхматрицбольшойразмерно-

сти. Его суть состоит в следующем: элементы

(экспериментальные величины полипа-

раметрического анализа) исходной размер-

ности dim

mхn

приводятся к новым вели-

чинам, имеющим нулевые средние и еди-

ничные дисперсии, по формуле

= (A

–

)/S

(1)

где

— среднее значение

по столбцам;

— стандартное отклонение.

Далее будем подразумевать, что

матрица

преобразована по формуле

(1). Вычисляем корреляционную матрицу

С =

А·A

(

–1), dim

mхm

, элементы кото-

рой

— суть выборочные коэффициенты

парной корреляции исходных признаков

. Существует ортогональное преоб-

разование системы координат, с помощью

которого матрица

приводится к диаго-

нальному виду

(2)

где

— матрица преобразования (матрица

векторов);

— diag (

…

) — диагональ-

ная матрица;

– собственные значения

матрицы

, отвечающие ее

-му собственному

числу

. Матрица

при этом преобразуется

по закону:

A = F

A = VF,

(3)

где

— преобразованная матрица

(матрица факторов), удовлетворяющая

соотношению

A·A

–1) =

Λ.

(4)

Собственные числа

— суть выборочные

дисперсии новых параметров (факторов),

причем последние не коррелируют друг с дру-

гом (их ковариационная матрица

— диа-

гональная). Преобразуем

в (2) таким обра-

зом, чтобы выполнялось условие

≥ λ

≥

≥ λ

≥

…

≥

Еслимежду исходнымипризнаками суще-

ствовала линейная зависимость, то только

первые

…отличны от нуля, из чего

следует, что последние

m-r

строк матрицы

состоят из одних нулей. Поэтому равенство

(3) можно переписать в виде

= {

}·{

(5)

где матрицы {

} и {

} — есть соответствую-

щие подматрицы матриц

Вследствие экспериментальной погреш-

ности при измерении параметров

все

или большая часть

могут оказаться отлич-

ными от нуля, однако при достаточно сильном

различии их значений остаточная диспер-

сия, определенная как

Σλ

, будет малой

величиной для некоторого числа

. Малость

остаточной дисперсии

оценивается, исходя

из заранее сформулированных требований

точности. Оценкой вклада

факторов может

служить величина

r m r

Σ λ

Σλ

(6)

При введении меры информации,

как величины, пропорциональной следу

ковариационной матрицы параметров,

по (6) можно судить об объеме информации,

содержащейся в параметрах

,…,

и сохраняющейся при переходе к новым

параметрам

,…,

, которые называются

главными компонентами (факторами).

Обычно меру информации получают

в виде

·100% и называют вкладом фактора

в информацию, содержащуюся в исходной

матрице

При использовании метода главных ком-

понент мы предполагаем, что несколько

измеряемых переменных сильно коррелиру-

ют друг с другом. Это означает, что, либо они

взаимно определяют друг друга, либо связь

между ними обусловливается третьей вели-

чиной, которую непосредственно измерить

нельзя. Модель главных компонент связана

с последним предположением и дает воз-

можность получить числовые значения этих

третьих величин в виде набора линейно-

независимых факторов

, которые описы-

вают и воспроизводят исходную матрицу

с необходимой точностью в виде

(

)

[

(i)·V

(j) + F

(i)·V

(j) +…] S

+ H

(7),

где

(

) и

(

) — коэффициенты линейной

модели из подматрицы {

};

(

) —

линейно-независимые факторы (параметры)

из подматрицы {

};

— стандартное откло-

нение по строкам;

— среднее значение

по cтрокам матрицы

А; А

(

) —элемент исход-

ной матрицы

Применение метода главных компо-

нент для получения линейно-незави-

симых параметров вина.

Примером

использования этого метода для получе-

ния линейно-независимых параметров

может служить обработка многоволно-

Электронная Научная СельскоХозяйственная Библио ека