17 / 68
15
ХРАНЕНИЕ И ПЕРЕРАБОТКА СЕЛЬХОЗСЫРЬЯ, № 12, 2011
 ñòàòüå [1] ðàññìîòðåíû ôàêòîðû, âëèÿþùèå íà
âåëè÷èíó ïîääåðæèâàþùåé åìêîñòè ñðåäû îáèòà-
íèÿ.  ìîäèôèöèðîâàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
Ï. Ôåðõþëüñòà ïîääåðæèâàþùàÿ åìêîñòü ñðåäû
îáèòàíèÿ ðûá îïðåäåëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûìè âíåø-
íèìè ôàêòîðàìè âîçäåéñòâèÿ (ýêîëîãè÷åñêèå, ÷àñ-
òîòà è äîëÿ çàáîëåâàíèÿ ïðîìûñëîâîé ðûáû, ïîãîä-
íûå êâàçèïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ, êà÷åñòâî ëå÷åíèÿ
ðûá) è äðóãèìè âåðîÿòíîñòíûìè ôàêòîðàìè âîçäåé-
ñòâèÿ êàê ïî àìïëèòóäå èçìåíåíèÿ åìêîñòè ñðåäû
îáèòàíèÿ, òàê è ïî âðåìåíè (ôàçå) âîçäåéñòâèÿ ïî-
ãîäíûõ óñëîâèé, ñáðîñà â âîäîåì çàãðÿçíåíèé èç
î÷èñòíûõ ñîîðóæåíèé è äð.
 ñòàòüå [2] ïðîâåäåí ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ðå-
øåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äèíàìèêè
ðîñòà ïîïóëÿöèè ïðè ïîñòîÿííîé ïîääåðæèâàþùåé
åìêîñòè ñðåäû îáèòàíèÿ. Íàéäåíû õàðàêòåðíûå òî÷-
êè êðèâîé Ï. Ôåðõþëüñòà:
ãäå
m
≡
m
(
t
),
m
0
— ïëîòíîñòü ìàññû ðûáû â âîäîåìå
è åå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïðè
t
= 0;
Ê
0
— ïîääåðæèâà-
þùàÿ åìêîñòü ñðåäû îáèòàíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè;
λ
— ñêîðîñòü ðîñòà óäåëüíîé ìàññû.
Ôîðìóëà (1) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ
êîãäà
K
0
— ïîñòîÿííàÿ ïîääåðæèâàþùàÿ åìêîñòü
ñðåäû îáèòàíèÿ.
Ïóñòü ïî òåì èëè èíûì ïðè÷èíàì åìêîñòü ñðåäû
îáèòàíèÿ åñòü ôóíêöèÿ âðåìåíè
K
(
t
), êîòîðàÿ óäîâ-
ëåòâîðÿåò óñëîâèÿì åå ðàçëîæåíèÿ â òðèãîíîìåòðè-
÷åñêèé ðÿä Ôóðüå [3]:
ãäå
A
l
— êîýôôèöèåíò
l
-ãî ñëàãàåìîãî ðÿäà Ôóðüå;
l
= 0; 1; 2 ...
∞
;
ϕ
l
— ôàçà êîëåáàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùå-
ãî ñëàãàåìîãî ðÿäà Ôóðüå;
t
′
— ïîêà íåîïðåäåëåííîå
îòíîñèòåëüíîå áåçðàçìåðíîå âðåìÿ.
Îáùèé ÷ëåí ðÿäà
A
l
sin(
lt
′
+
ϕ
l
) íàçûâàþò 1-é ãàð-
ìîíèêîé ôóíêöèè
K
(
t
). Åãî ìîæíî íàïèñàòü â âèäå
A
l
sin(
lt
′
+
ϕ
l
) =
a
l
cos
lt
′
+
b
l
sin
lt
′
,
ãäå
a
l
=
A
l
sin
ϕ
l
,
b
l
=
A
l
cos
ϕ
l
.
Ãàðìîíèêà íóëåâîãî ïîðÿäêà (
l
= 0)
A
l
sin
ϕ
0
=
Ê
0
,
ãäå
Ê
0
— ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé ïîääåðæè-
âàþùåé åìêîñòè;
ϕ
0
— íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé
ïîääåðæèâàþùåé åìêîñòè
Ê
.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî äèíàìèêà ïîïóëÿöèé ðû-
áû, ôèòî- è çîîïëàíêòîíà áëèçêà ê ïåðèîäè÷åñ-
êîé ôóíêöèè.  ýòîì ñëó÷àå áåñêîíå÷íûé ðÿä (3)
áûñòðî ñõîäèòñÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò îãðàíè÷èòüñÿ ïåð-
âûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè ðÿäà:
Ê
=
Ê
0
+
à
sin(
ω
t
+
ϕ
),
(4)
ãäå
ω
= 2
π
/
T
,
Ò
— êðóãîâàÿ ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ åì-
êîñòè ñðåäû;
t
— âðåìÿ;
ϕ
— ôàçà êîëåáàíèé ôóíê-
öèè
K
(
t
);
a
— àìïëèòóäà êîëåáàíèé åìêîñòè
K
(
t
).
Ïðè ïåðåìåííîé ïîääåðæèâàþùåé åìêîñòè ñðå-
äû îáèòàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2) ñ
ó÷åòîì ââåäåííûõ îòíîñèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ
m
′
=
=
m
/
m
0
,
t
′
=
t
/
T
,
ϕ′
=
ϕ
/(2
π
) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
ãäå
R
= (2
πλ
)/
ω
=
λ
Ò
— îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü
ðàçâèòèÿ ïîïóëÿöèè, êîòîðóþ â òåîðèè êîëåáàíèé
íàçûâàþò äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ (
λ
< 0) èëè ðîñòà
(
λ
> 0);
Ê
′
0
=
Ê
0
/
m
0
— îòíîñèòåëüíàÿ âåëè÷èíà åìêî-
ñòè ñðåäû îáèòàíèÿ ðûáû;
À
=
à
/
m
0
— îòíîñèòåëüíàÿ
àìïëèòóäà èçìåíåíèÿ åìêîñòè
Ê
; 2
π
=
ω
T
— îòíîñè-
òåëüíûé óãëîâîé ïåðèîä ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé
êîëåáàíèÿ âåëè÷èíû
Ê
′
(
t
′
).
Òàêèì îáðàçîì, ìîäèôèöèðîâàííàÿ ìîäåëü Ï.Ôåð-
õþëüñòà â îòíîñèòåëüíûõ âåëè÷èíàõ (5) õàðàêòåðè-
çóåòñÿ òðåìÿ ìàñøòàáàìè (
m
0
,
Ò
, 2
π
). Âàðüèðóÿ ïîëó-
÷åííûå îòíîñèòåëüíûå ïàðàìåòðû è ôàçó
ϕ′
, ìîæíî
ïðîâåñòè êà÷åñòâåííûé è êîëè÷åñòâåííûé àíàëèç
ЭКОЛОГИЯ ПРОДУКЦИИ И ПРОИЗВОДСТВ АПК
УДК 574
Динами а поп ляции при онечной переменной
поддерживающей ем ости среды обитания
Àñïèðàíò À.Ã.ÊÀÏØÈÍÀ; ä-ð áèîë. íàóê, ïðîôåññîð À.Ë.ÍÈÊÈÔÎÐÎÂ-ÍÈÊÈØÈÍ;
ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð Â.Ô.ÞÄÀÅÂ
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò òåõíîëîãèé è óïðàâëåíèÿ èì. Ê.Ã.Ðàçóìîâñêîãî
Êëþ÷åâûå ñëîâà:
äèíàìèêà ïîïóëÿöèè, ìîäèôèöèðî-
âàííàÿ ìîäåëü Ï.Ôåðõþëüñòà, ñëó÷àéíûå ïàðàìåòðû.
Keywords:
population dynamics, a modified model of
P.Verhulst, random parameters.
( )
( )
0
0
0
exp
,
1 exp
t
m
K K
t
m
λ
=
− + λ
(1)
0
1
,
dm
m
m
dt
K
⎛
⎞
= λ −⎜
⎟
⎝
⎠
(2)
( )
(
)
0
sin
,
l
l
l
K t
A lt
∞
=
′
=
+ ϕ
∑
(3)
(
)
0
1
,
sin 2
m
dm Rm
K A t
⎛
⎞
′
′
′
=
−⎜
⎟
⎜
⎟
′
′
′
+
π + ϕ
⎝
⎠
(5)
Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека