чении. Случаев, когда два шара черных, может быть 1*1*9 +
+
1
*
9 * 1
+ 9 * 1 * 1 = 3 9 , где слагаемые соответствуют случаям,
когда белый шар извлечен при третьем, втором и первом извлече
нии. Случаев, когда три шара черных, может быть один, когда при
каждом извлечении извлекается черный шар. Всего получено
9
3
+ 3 •
92
+ 3 ■9 + 1 = (9 + I
)3
- 10
3
вариантов. Разделив обе части
равенства на
10
, получим
q
3
+ 3q2p + 3qp
2
+ р
3
=
1
,
или
(q + p
)3
= l.
Очевидно, что это соотношение справедливо при любом п, так
K a K q
+ p= l :
(q + p)"=l.
Используя формулу бинома Ньютона, можно написать
(q+P)n
= I c nY V = C nV + c ny - Ip+... + c nnp n ,
i
=0
где Cn*- число сочетаний из n no i.
Слагаемые этой суммы представляют собой вероятности того,
что случайная величина - количество черных шаров в выборке
или количество дефектных изделий в выборке - примет значение
i : i = 0,
1
, ..., п. Действительно, в частном случае при п= 3 это
было очевидно, так как каждое слагаемое бинома при п = 3 пред
ставляло собой отношение числа случаев, когда случайная вели
чина принимает одно из возможных значений, к общему числу
равновозможных событий. В общем случае, т. е. при п извлече
ниях шара из лототрона, в котором N шаров, из них Nq белых и
Np черных, результат, при котором количество дефектных изде
лий примет значение i, может быть получен, если при i извлече
ниях появился черный шар, а при остальных n-i - белый. Если
номера извлечений зафиксированы, то возможно (Nq
) 11’1
(Np
) 1
равнозначных результатов, а зафиксировать i номеров извлече
ний можно Сп*различными способами. Учитывая, что всего име
ется Nn равновозможных результатов, имеем
138
Научная Эле тро ная СельскоХозяйственная Библиотека