10 / 72
8
ХРАНЕНИЕ и ПЕРЕРАБОТКА СЕЛЬХОЗСЫРЬЯ • №4 • 2015
Получено приближенное решение
f
(
x
)
≈
0,374366·10
–5
при
x
1
≈
1,0000118,
x
2
≈
1,0015393.
Задача 2.
Тестовая функция
f
(
x
1
,
x
2
) = (4 – 2,1
x
1
2
+ (
x
1
4
/3))
x
1
2
+
x
1
x
2
+ (–4 + 4
x
2
2
)
x
2
2
;
–3
≤
x
1
≤
3; –2
≤
x
2
≤
2.
Имеет два глобальных минимума, один из которых
определен так:
f
(
x
*
) = –1,03163 при
x
1
*
≈
–0,08983,
x
2
*
≈
0,71265. В работе [16] это решение получено
с помощью детерминированного алгоритма TRUST:
для стандартной стартовой точки
x
1
0
= 3,
x
2
0
= 2,
f
(
x
0
)
≈
0,16290 ·10
3
потребовалось 109 вычислений теку-
щих значений минимизируемой функции. Примене-
ние гибридного алгоритма позволило получить при-
ближенное решение
x
1
*
≈
0,08984201,
x
2
*
≈
0,71265641,
f
(
x
*
) = –1,0316285. Изменение значений переменных
с возрастанием числа обращений к подпрограмме
вычисления значений функции показано на рис. 2.
С помощью функции
F
(
x
)=
f
(
x
)+2,5 на рис. 3 пока-
зана зависимость минимизируемой тестовой функции
от количества вычислений ее значений.
Задача 3.
Тестовая функция [16]
f
(
x
1
,
x
2
) = 0,5
x
1
2
+ 0,5(1 – cos 2
x
1
) +
x
2
2
;
–10
≤
x
i
≤
10;
i
= 1, 2.
Имеет глобальный минимум
f
(
x
*
) = 0 при
x
1
*
=
x
2
*
=0.
Для определения глобального минимума рассмат-
риваемой функции с использованием алгоритма
TRUST потребовалось 58 вычислений ее значений
[16]. Приближенное решение, полученное с примене-
нием гибридного алгоритма глобальной минимизации
PCALMS:
f
(
x
0
)
≈
0,150296 ·10
3
при
x
1
0
=
x
2
0
=–10;
f
(
x
*
)
≈
0,613011 ·10
–22
при
x
1
*
≈
0,110726 ·10
–10
,
x
2
*
≈
0; пот-
ребовалось 39 вычислений значений минимизируемой
функции.
Задача 4.
Рассматривается стандартная эталонная
тестовая задача ZDT4 [11]. Требуется решить бикрите-
риальную задачу. Найти min
f
(
x
), где
f
(
x
) = (
f
1
(
x
),
f
2
(
x
)),
при условиях:
f
1
(
x
) =
x
1
;
f
2
(
x
) =
g
(
x
2
)
h
(
f
1
(
x
1
),
g
(
x
2
));
g
(
x
2
) = 11 + (
x
2
2
– 10 cos (4
π
x
2
));
h
(
f
1
(
x
1
),
g
(
x
2
)) = 1 –
√
—
f
—
1
/
—
g
;
x
∈
R
2
;
x
1
∈
[0, 1];
x
2
∈
[–5, 5].
Существенно, что функция, определяющая свойс-
тва критериальной функции задачи, является много-
экстремальной. График функции в заданной области
определения показан на рис. 4.
Приближенное решение подзадачи глобальной
минимизации частного критерия
f
2
(
x
) с использова-
нием гибридного алгоритма PCASFC иллюстрирует
рис. 5. Показано изменение значений критериальной
функции и переменной
x
2
при возрастании плотности
развертки
m
. Для определения множества недомини-
руемых решений задачи многокритериальной оптими-
зации требуется многократное решение подзадач гло-
бальной минимизации при различных значениях
переменной
x
1
и, соответственно, критериальной фун-
кции
f
1
(
x
).
На рис. 6 показан фронт Парето, представляющий
собой решение задачи: сплошная линия соответству-
ет точному решению; штриховая — приближенному
решению, полученному с использованием програм-
много комплекса, реализующего гибридный алго-
ритм V-PCASFC многокритериальной оптимизации
Рис. 2.
Изменение значений переменных с возрастанием числа
обращений к подпрограмме вычисления значений функции
x
(
i
)
0
10
20
30
40
50
Nclf
3,50E+00
3,00E+00
2,50E+00
2,00E+00
1,50E+00
1,00E+00
5,00E–01
0,00E+00
–5,00E–01
—— x
(1)
—— x
(2)
0
10
20
30
40
50
Nclf
F
(
x
)
1,00E+03
1,00E+02
1,00E+01
1,00E+00
Рис. 3.
Зависимость минимизируемой тестовой функции
от количества вычислений ее значений
f
2
(
x
)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x
2
40
30
20
10
0
Рис. 4.
График функции f
2
(x) в заданной области определения
x
2
∈
[-5, 5] для x
1
= 0,4
Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека