21 / 64
19
ХРАНЕНИЕ И ПЕРЕРАБОТКА СЕЛЬХОЗСЫРЬЯ, № 6, 2010
èç ïðè÷èí íàçîâåì îáñëóæèíèå òðåáîâàíèé. Ýòî ïîç-
âîëÿåò íàì ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ ïåíîãåíåðèðîâà-
íèÿ êàê ñèñòåìó ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ
S
, â êîòî-
ðóþ ïîñòóïàþò òðåáîâàíèÿ (ïóçûðüêè) íà îáñëóæè-
âàíèå (ðàçðóøåíèå). Ïîñëå îêîí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ
òðåáîâàíèå ïîêèäàåò ñèñòåìó.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü.
Ïóñòü èìååì ñèñòåìó
S
,
íà êîòîðóþ ïîñòóïàþò òðåáîâàíèÿ íà îáñëóæèâàíèå.
×èñëî òðåáîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ â ñèñòåìó, ÿâëÿåòñÿ
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
ξ
, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó
Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì
α
— èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóï-
ëåíèÿ. Òðåáîâàíèå, ïîñòóïèâøåå â ñèñòåìó, ñðàçó íà-
÷èíàåò îáñëóæèâàòüñÿ. Âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ — ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà
η
, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî ýêñïîíåíöè-
àëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðîì
β
= 1/
τ
ñð
— èíòåíñèâ-
íîñòüþ îáñëóæèâàíèÿ. Îáñëóæåííîå òðåáîâàíèå ïî-
êèäàåò ñèñòåìó
S
.
Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü
M
i
(
τ
) è
D
i
(
τ
) =
σ
i
2
(
τ
) — äèñ-
ïåðñèþ ÷èñëà ïóçûðåé â ìîìåíò âðåìåíè
τ ∈
[0,
∞
].
Èìååì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ [4, 5]:
∂
F
(
z
,
τ
)/
∂τ
=
β
(1–
z
)[
∂
F
(
z
,
τ
)/
∂
z
]–
α
(1–
z
)
F
(
z
,
τ
)
(1)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
F
(
z
,0) =
z
i
,
(2)
ãäå — ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ íàéäåì
èç ôîðìóë [5]:
êîòîðûå, ïîñëå ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå (1), ïðèâî-
äÿò ê ñèñòåìå
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ñ ó÷åòîì (2):
M
i
(0) =
i
,
D
i
(0) = 0.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (3) èìååò âèä
Ïðè
τ → ∞
(ñòàöèîíàðíûé ðåæèì) èç (4) ïîëó÷àåì
Íàñ èíòåðåñóåò ïåííûé ñëîé â ñòàäèè ñòàáèëèçà-
öèè, ïîýòîìó äëÿ ýêñïðåññ-àíàëèçà óäîáíî ïîëüçî-
âàòüñÿ ôîðìóëàìè (5).
Äëÿ ïðîâåðêè àäåêâàòíîñòè ïðåäëîæåííîé ìîäå-
ëè ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïî
àýðèðîâàíèþ îáåçæèðåííîãî ìîëîêà ñ ìàññîâîé äî-
ëåé áåëêà 2,8 %, êîòîðûå ïðîâîäèëèñü â ÐÏÓ ïðè
÷àñòîòå âðàùåíèÿ ðîòîðà îò 750 äî 2000 ìèí
-1
, ïðî-
äîëæèòåëüíîñòè íàõîæäåíèÿ ïðîäóêòà â ðàáî÷åé êà-
ìåðå îáúåìîì 0,018 ì
3
15 ìèí, êîýôôèöèåíòå çàïîë-
íåíèÿ 0,3; ìàññîâîé äîëå áåëêà 4,4 %, çàçîðå ìåæäó
ðîòîðîì è ñòàòîðîì 0,1 ìì, òåìïåðàòóðå 13±2 °Ñ.
Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíû êðèâûå
M
0
(
τ
) (ïðè
i
= 0) â
çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè
τ
, õàðàêòåðèçóþùèå ïðîöåññ
ñòàáèëèçàöèè ïåííîãî ñëîÿ. Ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå
ïîêàçàíû òî÷êàìè. Òåîðåòè÷åñêàÿ
M
0
(
τ
) =
M
(
τ
;
α
;
β
)
êðèâàÿ
M
(
τ
;
α
;
β
) =
M
(
τ
;7834;0,150) ïðåäñòàâëåíà óñ-
ðåäíåííûì ïàðàìåòðîì
β
ïî âñåìó ïåðèîäó ïåíîîá-
ðàçîâàíèÿ. Ïðè âðåìåíè
τ,
áëèçêîì ê 15 ìèí, òåîðå-
òè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ïðàêòè÷åñ-
êè ñîâïàäàþò. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû êðèâûå
M
0
(
τ
), îøèáêà ñîñòàâëÿåò äî 25 % ïðè
τ
< 10 ìèí è
ìåíåå 10 % ïðè
τ
> 12 ìèí. Äëÿ êðèâîé
M
i
(
τ
) îøèáêà
ìåíåå 1 %. Íèæíÿÿ òåîðåòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ñîñòûêîâà-
íà èç êóñêîâ êðèâûõ
M
i
(
τ
), ïîñòðîåííûõ ïðè ðàçëè÷-
íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà
β
, îïðåäåëåííûõ íà êàæ-
äîì èç ïÿòè ïðîìåæóòêîâ ïðîöåññà. Âèä òàêîé êîì-
áèíèðîâàííîé òåîðåòè÷åñêîé êðèâîé ïîäòâåðæäàåò
ãèïîòåçó î ïóàññîíîâñêîì ñëó÷àéíîì ïðîöåññå ãåíå-
ðèðîâàíèÿ ïóçûðåé, ïîñêîëüêó êðèâûå ãëàäêî ñîâ-
ìåùàþòñÿ íà ãðàíèöå. Àíàëîãè÷íûå êðèâûå ïîëó÷å-
íû ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà îò 750
äî 1500 ìèí
-1
.
Íà ðèñ. 2 èìåþòñÿ ñóùåñòâåííûå ðàñõîæäå-
íèÿ ìåæäó òåîðåòè÷åñêîé êðèâîé (
α
= 23875 1/ìèí,
β
= 0,252 1/ìèí) è ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòà, ÷òî
îáúÿñíÿåòñÿ âíåøíèìè ïðè÷èíàìè. Îäíàêî íà êàæ-
äîì èç ó÷àñòêîâ äëÿ êðèâîé
M
i
(
τ
) ïðîöåññ ïî-ïðåæíå-
ìó ïóàññîíîâñêèé. Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÐÏÓ ñ
÷àñòîòîé âðàùåíèÿ ðîòîðà áîëåå ÷åì 1750 ìèí
-1
ðåêî-
ìåíäóåòñÿ ïðåêðàùåíèå ïðîöåññà óæå ïîñëå 3 ìèí ðà-
áîòû ëèáî èçìåíåíèå ñâîéñòâ îáðàáàòûâàåìîãî ïðî-
äóêòà äîáàâëåíèåì ñòàáèëèçàòîðîâ. Â ïîñëåäíåì ñëó-
÷àå ìîäåëü íàèáîëåå àäåêâàòíî îïèñûâàåò ïðîöåññ ïå-
íîãåíåðèðîâàíèÿ, îñîáåííî â ñòàäèè ñòàáèëèçàöèè.
Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå 3
σ
i
(
τ
) íà ðèñ. 1 äëÿ
êðèâîé
M
i
(
τ
) ñîñòàâèëî íå áîëåå 0,32 %. Òàêèå íåçíà-
÷èòåëüíûå îòêëîíåíèÿ îò ñðåäíèõ çíà÷åíèé ïîçâî-
ëÿþò ïðèìåíÿòü ñòàòèñòè÷åñêèå ñðåäíèå ïðè èçó÷å-
íèè ïðîöåññà ãåíåðèðîâàíèÿ ïóçûðåé ìåòîäàìè òî÷-
íûõ íàóê (ìîäåëè ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû, ãàçî- è
ãèäðîäèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è äð.).
Òàêèì îáðàçîì, ðàññ÷èòàíû ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-
äàíèå è äèñïåðñèÿ ÷èñëà ïóçûðüêîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â
ïåííîì ñëîå â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ïîç-
( )
( )
k
k
k 0
,
F z
z P
∞
=
τ =
τ
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i
2
2
i
2
1, ;
1,
1,
1,
,
M F
z
D
F
F
F
z
z
z
∂
⎧ τ =
τ
⎪
∂
⎪
⎨
∂
∂
∂⎛
⎞
⎪ τ =
τ +
τ −
τ
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
∂
∂
∂
⎩
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
i
i
2
i
i
i
2
i
i
i
i
;
2
2
d
M M
d
d
D M M
d
D M M M
⎧
τ + β τ = α
⎪ τ⎪
⎪ ⎡
⎤
τ + τ − τ +
⎨ ⎣
⎦
τ⎪
⎪ ⎡
⎤
+ β τ + τ − τ = α τ
⎣
⎦
⎪⎩
(3)
( )
(
)
( )
(
)
i
i
1
;
1
.
M
e
ie
D
e
ie
−βτ
−βτ
−βτ
−βτ
α
⎧ τ = − +
⎪
β
⎪
⎨
⎡
⎤
α
⎪ τ = −
+ ⎢
⎥
⎪
β⎣
⎦
⎩
(4)
( )
( )
i
i
lim
;
lim
.
x
x
M M
D D
→∞
→∞
=
τ = α β
=
τ = α β
(5)
Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека