17 / 60
4
•
2012
ПИВО
и
НАПИТКИ
15
технология
технология
звания уравнений (моделей) приняты
согласно программе CurveExpert. Рас-
смотрим первые две модели и оценим
их положительные и отрицательные
стороны.
Модель Hoerl
имеет вид уравне-
ния
D
=
ab
τ
τ
c
.
(1)
В начале процесса брожения ко-
личество диацетила в сусле можно
принять равным нулю. Уравне-
ние (1) соответствует этому усло-
вию, так как при
τ
=0
D
=0. Входя-
щие в уравнение (1) коэффициенты
a
,
b
и показатель степени
c
зависят
от начальной концентрации дрож-
жей в засеве и находятся экспери-
ментально.
Для нахождения максимума
функции
D
(
x
н
) возьмем произво-
дную от уравнения (1) и приравняем
ее нулю:
d
D
1
D
'
=——= ln
b
+
c
—
D
.
(2)
d
τ
τ
Производная (2) будет равна ну-
лю, если выражение в скобках равно
нулю, т. е.
1
ln
b
+
c
—
=
0,
(3)
τ
откуда следует, что время достиже-
ния максимального значения функ-
ции
D
(
τ
,
x
Н
)
–
c
τ
m
=——.
(4)
ln
b
Таким образом, время достижения
максимума зависит только от коэф-
фициентов
b
и
c
. Так как
τ
m
имеет
размерность времени, то из урав-
нения (4) следует, что
b
должно яв-
ляться безразмерным коэффициен-
том пропорциональности. В таком
случае показатель степени должен
иметь размерность времени.
Подставив в уравнение (1) выра-
жение (4), получим значение макси-
мума функции
D
m
=
ab
τ
m
τ
c
m
.
(5)
Поиск коэффициентов
a
,
b
и
c
,
входящих в уравнения (1)–(5), про-
изводили путем компьютерной об-
работки опытных данных с помощью
программ CurveEexpert и MatchCad.
С целью упрощения уравнений коэф-
фициент принят постоянным,
b
=49,
хотя в действительности он несколь-
ко зависит от величины
x
н
.
Таким образом, величина
τ
m
в
уравнении (3) при постоянной тем-
пературе определяется только пока-
зателем степени
c
. Для вычисления
значений
a
и
c
, которые зависят от
x
н
, получены эмпирические уравне-
ния вида и
a
=1686e
–142,12/
x
н
,
(6)
2,038
с
=————————.
(7)
1–0,9e
–0,0174
x
н
Уравнение (4) с учетом равенства
(7) и
b
=0,49 приводится к виду
2,858
τ
m
=————————. (8)
1–0,9e
–0,0174
x
н
Зависимость максимальных зна-
чений концентраций диацетила от
начальных значений концентраций
засевных дрожжей может быть пред-
ставлена уравнением, имеющим на-
звание Weibul Model
D
m
=1223–735,9e
–4,81·10 –5
x
н
1,91
. (9)
Уравнение (9) пригодно в преде-
лах изменения величины
x
н
от 30 до
130.
Производная (2) представляет
собой скорость изменения содер-
жания диацетила в сусле в про-
цессе брожения и имеет сложную
функциональную зависимость от
времени и начальной концентра-
ции засевных дрожжей. При
D
=
D
m
D
'
=0. В качестве примера на рис. 2
зависимость
D
'
(
τ
,
x
н
) представлена
в графическом виде для
x
н
= 30 и
x
н
=130. На рис. 2 видно, что функ-
ция
D
'
(
τ
,
x
н
) имеет два экстремума.
Максимальное значение функции
определяет максимальную скорость
образования диацетила, а минималь-
ное — максимальную скорость вос-
становления.
Если сопоставить рис. 1 и 2, то
можно заметить, что время достиже-
ния максимума и минимума функции
D
'
(
τ
,
x
н
) на рис. 2 соответствует на
рис. 1 точкам, в которых функция
претерпевает перегиб. На рис. 1 точ-
ки обозначены крупными значками:
A
1
и A
2
относятся к
x
н
=30, B
1
и B
2
—
к
x
н
=130.
В производственных условиях
часто бывает необходимым опреде-
ление времени
τ
j
восстановления
диацетила до определенного значе-
ния
D
j
. В этом случае время
τ
j
на-
ходится из уравнения (1) методом
последовательных приближений.
При работе с системой MatchCad
можно воспользоваться подпрограм-
мой MinErr.
Уравнения типа (1) имеют один
существенный недостаток, суть
которого сводится к следующему.
Размерность левой части равен-
ства (1) должна быть одинакова с
размерностью правой части. Пока-
затель степени при коэффициенте
b
имеет размерность времени. Тог-
да становится непонятным, како-
ва размерность величины
b
τ
. Фор-
мально такая обработка опытных
данных допустима, если не вникать
глубоко в суть рассматриваемого
процесса.
Строго говоря, показатели степе-
ней должны быть безразмерными.
Но для этого уравнение (1) следует
представить в ином виде:
D
=
a
1
b
1
k
τ
τ
fc
1
.
(10)
Чтобы показатели степени при
b
1
и
τ
были безразмерными, размер-
ность коэффициентов
k
и
f
должна
иметь размерность, обратную вре-
мени.
В уравнении (1) предполагается,
что коэффициенты
k
и
f
равны едини-
це. В уравнении (10), скорее всего,
k
и
f
будут отличаться от единицы.
Рис. 2.
Зависимость скорости изменения
содержания диацетила
в сусле в процессе брожения
500
400
300
200
100
0
–100
–200
0
2
4
6
8
10
—
x
Н
= 30
—
x
Н
= 130
τ
, сут
d
D
/d
τ
, мкг/л
Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека