ЭлБиб

23 / 58

Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств» № 2, 2017
23
Запишем дифференциальное уравнение искомой линии погружения элементарного ножа
в материал в декартовых координатах
Перейдем от декартовых координат точки C к полярным координатам с учетом ( ) ρ φ sinφ x = ⋅ ,
( ) ρ φ cosφ y = ⋅
ρ cosφ ρ sinφ
φ
dx
d
′= ⋅ − ⋅ ρ sinφ ρ cosφ
φ
dy
d
′= ⋅ + ⋅ . (7)
Из (7) следует, что
ρ cosφ ρ sinφ 1 ctgφ cosecφ
ρ sinφ ρ cosφ λ
dy y
dx
′ ⋅ − ⋅
′ = = = − + ⋅
′ ⋅ + ⋅
,
( ) cosecφ
ρ cosφ ρ sinφ ctgφ ρ sinφ+ρ cosφ
λ
 
′ ′ ⋅ − ⋅ = − + ⋅ ⋅ ⋅
 
 
. (8)
Таким образом, из выражения (8) получим дифференциальное уравнение искомой линии
погружения элементарного ножа в материал в полярных координатах
(9)
Преобразуем выражение (9) к следующему виду
(10)
К дифференциальному уравнению первого порядка (10) задается только одно граничное
условие, в нашем случае
( )н 0 ρ φ / 1 R = . (11)
Все остальные значения, в том числе ( )к ρ φ , находятся из решения дифференциального уравнения.
Начальное ( )
н н ρ φ и конечное ( )
к к ρ φ значения полярной координаты ( ) ρ φ точки C, то есть
полярные координаты начала и конца линии погружения элементарного ножа в материал, в зависимости
от толщины и положения материала согласно рисунку 2 удовлетворяют следующим выражениям
н н 0 ρ cosφ R h = − ∆ ; к к 0 ρ cosφ R H h = − − ∆ .
Для любого элементарного ножа, независимо от его положения, построение линии
погружения проводится от его кромки вверх – до поверхности материала. Это означает, что для
произвольного элементарного ножа граничное условие при построении линии его погружения
( )
н н 0 ρ φ 1 R = = . Построение ведется путем численного решения дифференциального уравнения (10),
причем форма кривой определяется углом φ и значением λ , то есть форма кривой не зависит
от выбора кромки элементарного ножа на дисковом ноже. В построении линий погружения
( ) 1 1
tg ψ ctgφ ctgφ cosecφ.
λ sinφ λ
dy y
dx
 
′ = = − = − − = − + ⋅
 
⋅  
cosecφ
cosφ ctgφ sinφ
λ
ρ ρ .
cosecφ
ctgφ cosφ sinφ
λ
 
+ − +  
 
′ =
 
− + −
 
 
( )
ρ
ρ .
сtg φ 1 λ cosφ λ sin φ
′ =
⋅ − ⋅ − ⋅
Электр нная Научная СельскоХозяйственная Библиотека