- 49 Докажем, что такова общая форма линии регрессии, т. е., что уравнение вида: У — ах (& — ft0), где х — уклонения от средней Х 0, Ь — абсолютные значения х независимо от знака (-]-) или (—), 1) дает ломаную прямую с переломом обязательно в точке среднего значения Х 0 (следовательно, мы имеем две прямые, сходящиеся в отмеченной точке), 2) что, если уравнение регрес­ сии отмечает точку максимального или минимального значения У, по оое стороны от которой У— уменьшаются или увеличиваются, то этот максимум или минимум падает на ту же точку Х0 . Придадим уравнению регрессии вид У = — Ь Ь 0-\- ах + ИІ. Разобьем наше поле наблюдения на две части, границей между которыми является ось У ----. Следовательно, в первой ча­ ст и состредоточены наблюдения с положительными значениями о в о ѵ а м ы - г , ох —, а во второй наблюдения с отрицательными х----. В первой о бласти наблюдения $=х> поэтому уравнение регрессии для наблюдении с положительными я ; ---- имеет вид: У = — 4“ в (а + Ь ). Для второй части поля наблюдения і\ = — я ; (ибо { I равно всегда положительному значению х, а во второй части все х отрицательны, следовательно, & = -}-# = —(— х) ). Поэтому уравнение регрессии этой области наблюдений: У = —680-р -J-& (Ъ — а). Ясно, что 1) в каждой части поля уравнение имеет характер линейной регрессии, 2) что уравнения регрессии для области положительных х и для области отрицательных х суще­ ственно различны, ибо коэффициенты при ft различны (а -f- b не равно Ь — а)у 3) что точка, где происходит перемена уравнения, неизбежно (несмотря на тот или иной характер зависимости^ отХ) падает на точку среднего значения X, 4) что на ту же точку, как следствие положения третьего, непременно приходятся максимум или минимум (если их намечает уравнение регрессии), не взирая на то, что в действительности они могут быть сильно сдвинуты в сторону от точки Х 0 г). Итак, наше уравнение регрессии* 2 ) изображает все особенности зависимости у от X двумя прямыми «штрихами» с «принудитель­ ным» помещением точки перелома, максимума или минимума, в точке, соответствующей среднему значению Х 0. Ясно,что оно неудо­ влетворительно передает особенности зависимости^ от .Хи что дей­ ствительная плавная линия регрессии, находимая по способу наи­ 1 ) Как это наблюдается на нашем примере, где действительный максимум падает ка интервал 40 милл. при среднем значении Х 0 = 5 0 . 2 ) Это уравнение регрессии может быть подвергнуто более детальному исследованию. Но размеры работы не позволяют это сделать. Отмечу только, что если а и b отрицательны, то при b > а, получается максимум, если а и Ь положительны, то при Ь^>а получается минимум. Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека