ЭлБиб

8 / 52

6 ХРАНЕНИЕ И ПЕРЕРАБОТКА СЕЛЬХОЗСЫРЬЯ, № 11, 2013
ñòåðåíêî, Ë.Å.Äàâûäÿíö è äð. Äëÿ òàêîé ìîäåëè
êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé, âõîäÿùèå â óðàâ-
íåíèå (1), ïðè ñäåëàííûõ ðàíåå ïðåäïîëîæåíèÿõ è â
ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìè òåîðèè
Ç.Ï.Øóëüìàíà î êîíâåêòèâíîì òåïëîïåðåíîñå ðåî-
ëîãè÷åñêè ñëîæíûõ æèäêîñòåé ìîãóò áûòü âûðàæå-
íû óðàâíåíèÿìè:
ãäå k è n — ðåîëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû ìîëî÷íîé
ñûâîðîòêè; Í — èíòåíñèâíîñòü ñêîðîñòåé äåôîð-
ìàöèè.
Âåëè÷èíà k|H | n-1 ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íå-
êîòîðàÿ êàæóùàÿñÿ (ýôôåêòèâíàÿ) âÿçêîñòü.
Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (íåñæèìàåìîñòè), ñïðà-
âåäëèâîå äëÿ ëþáîé æèäêîé ñðåäû, ïðè ñäåëàííûõ
ïðåäïîëîæåíèÿõ èìååò âèä:
∂(rvr/∂r) = 0. (5)
Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (5), íàõîäèì:
vr = (1/r)f(z). (6)
Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâà (6) äëÿ èíòåíñèâíîñòè
ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè Í èç (4) ïîëó÷èì âûðàæåíèå
ãäå øòðèõ âî âòîðîì ñëàãàåìîì ïîäêîðåííîãî âûðà-
æåíèÿ è äàëåå îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíàòå z.
Îöåíèâ ïîðÿäêè ñëàãàåìûõ â ïîäêîðåííîì âûðà-
æåíèè ôîðìóëû (7), ïðèâåäåì åå ê áåçðàçìåðíîìó
âèäó. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó ðàçìåðíûìè è áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè,
âõîäÿùèìè â (7):
 êà÷åñòâå õàðàêòåðíûõ êîîðäèíàò âçÿòû çàçîð h
ìåæäó äèñêàìè è ðàäèóñ R 2 öåíòðîâ âûõîäíûõ îò-
âåðñòèé (ñì. ðèñóíîê). Ìàëåíüêàÿ äóãà íàä vr îçíà-
÷àåò îñðåäíåíèå ïî êîîðäèíàòå r, à âåðõíÿÿ ÷åðòà —
áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ ðàçìåðíûõ âåëè÷èí ïî ñî-
îòíîøåíèÿì (8) â ôîðìóëó (7), ïðèâåäåì åå ê ñëåäó-
þùåìó âèäó:
Òàê êàê â ôîðìóëå (9) ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå
ïðèâåäåíî ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå, òî ïîðÿäêè ñëà-
ãàåìûõ â ýòîì âûðàæåíèè áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ïî-
ðÿäêîì êîýôôèöèåíòîâ ïðè ýòèõ ñëàãàåìûõ. Êî-
ýôôèöèåíò ïðè ïåðâîì ñëàãàåìîì çíà÷èòåëüíî
ìåíüøå êîýôôèöèåíòà ïðè âòîðîì ñëàãàåìîì, ò.å.
h2/R2
2 << 1/4. Òàê, íàïðèìåð, åñëè ïîëîæèòü h ~ 10-3 ì
è R 2 ~ 10-2 ì, òî h2 /R2
2 ~ 0,01. Òàêèì îáðàçîì, â ïîä-
êîðåííûõ âûðàæåíèÿõ (9) è (7) ìîæíî îñòàâèòü
òîëüêî âòîðûå ñëàãàåìûå. Íà ýòîì îñíîâàíèè èíòåí-
ñèâíîñòü ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè (7) çàïèøåòñÿ êàê
 ýòîì ñëó÷àå ñ ó÷åòîì (6) ñîîòíîøåíèÿ (3) ïðè-
ìóò ñëåäóþùèé âèä:
Òàê êàê ïðîäóêò ïðèíóäèòåëüíî âðàùàåòñÿ ïðè
ïîìîùè êðåñòîîáðàçíûõ ëîïàñòåé, óñòàíîâëåííûõ
ìåæäó äèñêàìè, òî îêðóæíàÿ ñêîðîñòü òî÷åê ïðî-
äóêòà áóäåò íå áîëüøå âåëè÷èíû ω r, ãäå ω — óãëî-
âàÿ ñêîðîñòü ëîïàñòåé ìåøàëêè. Ïîýòîìó ïðèìåì
ýòó âåëè÷èíó çà îêðóæíóþ ñêîðîñòü vϕ, ò.e.
vϕ = ωr. (12)
Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèé êîìïîíåíò òåíçîðà íà-
ïðÿæåíèé èç (11) è îêðóæíîé ñêîðîñòè (12) ïðè óñ-
ëîâèè vz ~ 0 â óðàâíåíèå (2) ïðèâîäèò ýòî óðàâíåíèå
ê ñëåäóþùåìó âèäó:
Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (13) çíà÷è-
òåëüíî ìåíüøå êàæäîãî èç ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñ-
òè. Ýòî ñëåäóåò èç îöåíîê, ñäåëàííûõ àíàëîãè÷íî
îöåíêàì â ôîðìóëå (7). Òîãäà ìîæíî ïðèíÿòü
[f(z)]2/r3 ~ 0, â ïîëó÷èâøåìñÿ óðàâíåíèè ðàçëè÷à-
þòñÿ ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå òîëüêî îò ñîîòâåòñòâó-
þùèõ êîîðäèíàò r è z. Êðîìå òîãî, â ïåðâîì ñëàãà-
åìîì ïðàâîé ÷àñòè âåëè÷èíà ρω2r2/2 << p è åþ ìîæ-
íî ïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ äàâëåíèåì p. Ýòî ñëå-
äóåò èç óñëîâèÿ ìàëîñòè óãëîâîé ñêîðîñòè ω âðà-
ùåíèÿ ìåøàëîê. Òàê, íàïðèìåð, â ðåàëüíûõ òåïëî-
îáìåííèêàõ (îõëàäèòåëÿõ) äàííîãî òèïà ð ~ 105 Ïà,
ω ~ 4 c-1, r ~ 0,1 ì, ρ ~ 10-3 êã/ì3. Îòñþäà ñëåäóåò
ñïðàâåäëèâîñòü óñèëåííîãî íåðàâåíñòâà, çàïèñàí-
íîãî âûøå. Íà ýòîì îñíîâàíèè óðàâíåíèå (13) áó-
äåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
n-1 n-1
r r
rr
n-1 r
rz
2 ; 2 ;
2 ,
v v
p k H p k H
r r
v
p k H
z
ϕϕ
∂
τ = − + τ = − +
∂
∂
τ = − +
∂ (3)
2 2 2 2
r r r r r 1 1
.
6 4
v v v v v
H
r r r r z
⎡ ⎤
∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + + − + ⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
(4)
( ) ( )
2 2
2 ,
2
f z f z
H
r r
′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(7)
( ) ( ) ( ) ( )
r 2
r 2 ; ; ; .
v R
z zh r rR f z v R f z f z f z
h
′ ′ = = = =
(8)
( ) ( ) 1
.
2 2
f z
H f z
r r
′
′ = = (10)
( ) ( ) 2 2
2
r
2 2
2
.
2
f z f z v h h
H
r r R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(9)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n-1 n-1
rr 2 2
n-1
rz 2
2 ; 2 ;
2 2
.
2
f z f z f z f z
p k p k
r r r r
f z f z
k
r r
ϕϕ
′ ′
τ = − τ = +
′ ′
τ = (11)
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
3
n-1 n
n
1
2
1 1
sign .
2
f z r
p
r r
k
f z f z
r z
⎡ ⎤ ∂ ρω ⎛ ⎞
⎣ ⎦
− = − − +
⎜ ⎟
ρ ∂ ⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
′ ′ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦
ρ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(13)
( ) ( ) ( )
n
n
n 1
1 sign .
2
p
r k f z f z
r z
∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
′ ′ = − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦
∂ ∂ ⎝ ⎠
(14)
Электронная Научная СельскоХозяйственная Библиотека